例題

某商店規(guī)定，每四個空啤酒瓶可以換一瓶啤酒，小明家買了24瓶啤酒，他家前后最多能喝到多少瓶啤酒?

A.30 B.31 C.32 D.33

【核心解析】選C。空瓶換水問題通常會在題目里明確制定規(guī)則，多少個空瓶可以交換多少瓶水或酒，如果沒有方法地去解，那就是完成一次一次的換酒過程：24瓶啤酒的空酒瓶首先可以換來六瓶啤酒，這六瓶啤酒喝完又剩下六個空瓶，可以第二次交換一瓶啤酒，同時剩余兩個空瓶，這一瓶啤酒喝完再次產(chǎn)生一個空瓶，加上第二次交換后剩余的還有三個空瓶，但交換沒有結(jié)束，此時找店家借一個空瓶湊齊四個空瓶換一瓶啤酒，這瓶啤酒喝完后可以把剩余的空瓶還給店家，這樣全部交換完成后，一共喝到了24+6+1+1=32瓶啤酒，于是選擇C選項(xiàng)。這樣的解題方法可以完成題目，但是由于步驟較多，流程較長，如果題目中初始空瓶數(shù)量比較多的情況下，就會浪費(fèi)時間。

所以接下來讓我們抽象一下空瓶換水問題的模型：

假設(shè)n個空瓶可以換一瓶水，那么我們把這一瓶水也可以稱為一個空瓶加一份瓶裝水，于是n空瓶=1空瓶+1瓶中水，化簡后可得(n-1)個空瓶可以換到1瓶中水，這樣就避免了最后一步借還空瓶的過程，因?yàn)檫@樣每一次只換瓶中水，不剩余空瓶，所以當(dāng)我們有m個空瓶時，最多就可以換到m/(n-1)瓶中水。

這個模型帶入上面的例題，4個空啤酒瓶可以換一瓶啤酒，那么3個空啤酒瓶就可以換一份純啤酒，現(xiàn)在喝完之后產(chǎn)生了24個空瓶，那么最多可以交換24/3=8，也就是8份純啤酒，所以最多能喝到24+8=32瓶啤酒，這樣就極大簡化了做題的步驟，節(jié)約了做題時間。